响石潭

有些测量中所得数据，其单位权重并不相等。这时若要计算平均数，就不能用算术平均数，而应该使用加权平均数。计算公式如下：

M_w = (W₁X₁ + W₂X₂ + …… + W_nX_n) / (W₁+W₂+……+W_n) = (∑W_iM_i) / ∑W_i

式中W_i为权数，所谓权数是指各变量在构成总体中的相对重要性，每个变量的权数大小，由观测者依据一定的理论或实践经验而定，虽然是可变的，但绝不是没有根据的。

在教育工作中，我们时常遇到对测量数据进行加权的情况。例如，在考试时教师共出10道考题。由于各题的大小不同，难易程度不同，在满分为100的条件下，绝不能每题都以10分以满分，而是有的题5分，有的10分、20分，甚至30分。再如高校入学考试共包括语文、政治、外语、数学、物理、化学及生物?科，而计算总分时并不是各科平等，在语文、政治等科都以100为满分的情况下，数学定120分，生物定50分，也是考虑到各门学科的相对重要性而进行加权的结果。加权的道理不难理解，但有时却容易被人忽略。例如，有人在研究学生的思惟能力时，用一些几何题目测验学生，指标是每题用一个解法作出就给一分，用两个解法作出来就再加一分，给两分，如此类推。然后用每个学生得分多少比较各人的差异。这里就产生了一个问题；这些分数是等距的吗?譬如有一个学生对很多题目作不出，但对于某些题目却能用多种方法作出，远远地超过他人，从得分总数看，虽然可能仍低于他人，但你能据此说他思惟能力不如别人吗?显然不能。这里的问题就在于每使用一种解题方法，不应该得相同的分数，而是应该考虑加权。但权数是多少?那要根据经验或理论进行分析。类似的情况还有很多。例如，用同一道题目测不同年龄的儿童，其得分不应相同；对难易度不同的几次考试，不应在计算总平均数时，使用相同的权重等等。

由各小组平均数计算总平均数是应用加权平均数的一个特例。在心理与教育研究中，经常会遇到由各个平均数计算总平均数这类实际的统计计算问题。在这个问题中，可以把各小组的平均分数，视为该小组每个个体的分数，而把每个小组的人数，视为权数。例如下表的结果。用加权平均数公式计算总平均数的方法如下：

例1          Xw = (53*91.06+47*91.06+49*89+……+48*87.13) / (53+47+49+……+48)

= 35048.52 / 400 = 87.62145

如果将各小组的平均数记为X_i，各小组人数记为ni，总平均数记为X_T，那么，可根据加权平均数，将由各小组的平均数求总平均数公式改写如下：

     = (∑n_i ) / ∑n_i            (2—8)

公式(2—8)就是由小组平均数计算总平均数的公式。