响石潭

二项分布是离散型随机变量的分布，也是心理与教育统计中常用的一种基本随机变量分布。

　　(一)二项试验。

二项试验又称贝努里试验，即

1．任何一次试验恰好有两个结果，成功与失败，或A与Ā(读作非A)

2．共有n次试验，并且n是预先给定的任一正整数。

3．各次试验相互独立，即各次试验之间无相互影响。

例如投掷硬币的试验属于二项试验，每次只有两个可能结果：正面向上或反面向上。如果一个硬币掷10次，或10个硬币掷一次，这时独立试验的次数为n＝10，再如选择题组成的测验，选答不是对就是错，只有两种可能结果，也属于二项试验。但在一般心理和教育实验中，很难保证第一次的结果完全对第二次结果无影响。譬如，对前面题目的选答可能对后面题目的回答有一定的启发或抑制作用，这时我们只能将它假设为近似满足不相互影响。

4．任何一次试验中成功或失败的概率保持相同，即成功的概率在第一次为P(A)，在第n次试验中也是P(A)，但成功与失败的概率可以相等也可以不等。这一点同第三点一样，有时较难保证，实验中需要认真分析，必要时仍可假设相等。例如，某射击手的命中率为0．70，但由于身体状态、心理状态的变化，在每一次射击时，命中率并不能保证都准确地是0．70，但为了计算，只可假设其相等。

凡符合上述要求的实验称为二项试验。二项试验的例子在心理与教育实验中是很多的。

(二)二项分布

二项分布是指统计变量中只有性质不同的两项群体的概率分布。所谓两项群体是按两种不同性质划分的统计变量，是二项试验的结果。即各个变量都可归为两个不同性质中的一个，两个观测值是对立的。因而两项分布又可说是两个对立事件的概率分布。

二项分布用符号b(x．n．p)，表示在n次试验中有x次成功，成功的概率为p。

二项分布的概率函数可写作：

                     (5—9)

式中x＝0、1、2、3．．．．．n为正整数

两项分布中含有两个参数n与p，当它们的值已知时，便可计算出分布列中各概率的值。

例1     掷硬币试验。有10个硬币掷一次，或1个硬币掷十次。问五次正面向上的概率是多少?

解：根据题意n＝10，p＝q＝1/2，x＝5

b(5、l0、1/2) = C₁₀² p⁵ q^10-5

= 10! / (5!(10-5)!) * (1/2)⁵ * (1/2)⁵

= 252 * (1/32) * (1/32)

= 0．24609

所以五次正面向上的概率为0．24609

此题若问五次及五次以上正面向上的概率是多少?

解：此题要求出五次及五次以上正面向上的概率之和。正面有五次、六次、七次、八次、九次、十次。依公式5—9应为：

        C₁₀⁵ p⁵ q^10-5 + C₁₀⁶ p⁶ q^10-4 + C₁₀⁷ p⁷ q³ + C₁₀⁸ p⁸ q² + C₁₀⁹ p⁹q¹ + C₁₀¹⁰ p¹⁰ q⁰

= 252/1024+210/1024+120/1024+45/1024+10/1024+1/1024

= 638/1024

= 0．623

五次及五次以上正面向上的概率为0．623

此题各项展开式的系数，若用杨辉三角计算也十分方便。读者：前面的杨辉三角写到(p+q)¹⁰。试比较五次及五次以—LK面向；的各项系数是否为252、210、120、45、10、1。