响石潭
医学硕士,不为良相则为良医,不为良医则为良相。
二项分布在心理与教育研究中,主要用于解决含有机遇性质的问题。所谓机遇问题,即指在实验或调查中,实验结果可能是由 ?猜测而造成的。比如,选择题目的回答,划对划错,可能完全由猜测造成。凡此类问题,欲区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限,就要应用二项分布来解决。 例3 有正误题10题,问答题者答对几题才能认为他是真会,或者说答对几题,才能认为不是出于猜测因素? 此题p=q=1/2,即猜对猜错的概率各为0.5。np≥5,故此二项分布接近正态分布: μ=np=10*0.5=5 根据正态分布概率,当Z=1.645时,该点以下包含了全体的95%。如果用原分数表示,则为 μ+1.645σ=5+1.645*1.58=7.6≈8 它的意义是,完全凭猜测,10题中猜对8题以下的可能性为95%,猜对8、9、10题的概率只5%。因此可以推论说,答对8题以上者不是凭猜测,而是会答。但应该明确:作此结论,也仍然有犯错误的可能,即那些完全靠猜测的人也有5%的可能性答对8、9、10道题。 此题的概率值,还可用二项分布函数直接计算,亦得与正态分布近似的结果: b(8 10 0.5)=C102p8q2 =10*9/2*0.58*0.52 = 45/1024 b(9 10 0.5)=C101p9q1 =10*0.59*0.51 = 10/1024 b(10 10 0.5) =C100p10= 1/1024 根据概率加法,答对8题及其以上的总概率为:45/1024+10/1024+1/1024=56/1024 = 0.0547 同理,可计算8题以下的概率为 95%。(近似). 例4 有10道多重选择题,每题有5个答案,其中只有一个是正确的。问答对几题才能说不是猜的结果? 此题n=10,p=1/5 = 0.2,q = 0.8,np<5,故此题不接近正态分布,不能用正态分布计算概率,而应直接用二项分布函数计算猜时各题数的概率: b(10、10、0.2)=C1000.210×0.80=1×0.210×0.80=0.000000102 b(9、10、0.2)=Cl010.29×0.81=10×0.29×0.81=0.000004096 b(8、10、0.2)= Cl020.28×0.82=45×0.28×0.82=0.000073728 b(7、10、0.2)=Cl030.27×0.83=120×0.27×0.83=0.000786432 b(6、10、0.2)=Cl040.26×0.84=210×0.26×0.84=0.00550524 b(5、10、0.2)=Cl050.25×0.85=252×0.25×0.85=0.026424115 b(4、10、0.2)=Cl060.24×0.86=210×0.24×0.86=0.088080384 根据以上所计算的猜对各题数的概率,可用概率加法求得猜对5题及5题以上的概率为0.03279,不足5%,故可推论说答对5题以上者可算真会,作此结论仍有3.3%犯错误的可能。 若上例中题数增加到30题,则np>5,就可用正态分布的概率计算: 解:μ=np=30*0.2=6 X=μ+1.645×σ=6 +1.645×2.191=9.6 因此可得结论,答对10题或10题以上,才能被认为是真会。作此结论犯错误的概率为5%。 如果想使推论犯错误的概率降为1%,则根据正态分布可求得此时的z=2.33,使用相同的计算方法,只将2.33代替1.645,可求得临界的分数(或答对的题数)。 |