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医学统计
二项分布的应用
来源:响石潭 日期:2010-05-24 08:04:44 标签:医学统计 中医
二项分布的应用

二项分布在心理与教育研究中,主要用于解决含有机遇性质的问题。所谓机遇问题,即指在实验或调查中,实验结果可能是由 ?猜测而造成的。比如,选择题目的回答,划对划错,可能完全由猜测造成。凡此类问题,欲区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限,就要应用二项分布来解决。

3    有正误题10题,问答题者答对几题才能认为他是真会,或者说答对几题,才能认为不是出于猜测因素?

此题pq=1/2,即猜对猜错的概率各为05np5,故此二项分布接近正态分布:

         μ=np=10*0.55

        

根据正态分布概率,当Z=1.645时,该点以下包含了全体的95%。如果用原分数表示,则为

    μ+1.645σ=5+1.645*1.58=7.68

它的意义是,完全凭猜测,10题中猜对8题以下的可能性为95%,猜对8910题的概率只5%。因此可以推论说,答对8题以上者不是凭猜测,而是会答。但应该明确:作此结论,也仍然有犯错误的可能,即那些完全靠猜测的人也有5%的可能性答对8910道题。

此题的概率值,还可用二项分布函数直接计算,亦得与正态分布近似的结果:

b(8  10  0.5)C102p8q2 10*9/2*0.58*0.52 45/1024

b(9  10  0.5)C101p9q1 10*0.59*0.51 10/1024

b(10  10  0.5) C100p10 1/1024

根据概率加法,答对8题及其以上的总概率为:45/1024+10/1024+1/102456/1024 = 00547  同理,可计算8题以下的概率为 95%。(近似)

4    10道多重选择题,每题有5个答案,其中只有一个是正确的。问答对几题才能说不是猜的结果?

此题n10p1/5 = 02q = 08np<5,故此题不接近正态分布,不能用正态分布计算概率,而应直接用二项分布函数计算猜时各题数的概率:

    b(10100.2)C1000.210×0.801×0.210×0.800.000000102

    b(9100.2)=Cl010.29×0.8110×0.29×0.810.000004096

    b(8100.2)= Cl020.28×0.8245×0.28×0.820.000073728

    b(7100.2)Cl030.27×0.83120×0.27×0.830.000786432

    b(6100.2)Cl040.26×0.84210×0.26×0.840.00550524

    b(5100.2)Cl050.25×0.85252×0.25×0.850.026424115

    b(4100.2)Cl060.24×0.86210×0.24×0.860.088080384

根据以上所计算的猜对各题数的概率,可用概率加法求得猜对5题及5题以上的概率为003279,不足5%,故可推论说答对5题以上者可算真会,作此结论仍有33%犯错误的可能。

若上例中题数增加到30题,则np>5,就可用正态分布的概率计算:

解:μ=np=30*0.26

Xμ+1.645×σ=6 +1.645×2.1919.6

因此可得结论,答对10题或10题以上,才能被认为是真会。作此结论犯错误的概率为5%。

如果想使推论犯错误的概率降为1%,则根据正态分布可求得此时的z2.33,使用相同的计算方法,只将2.33代替1.645,可求得临界的分数(或答对的题数)


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