响石潭

这是指样本统计量为正态分布或接近正态分布的两种情况，凡符合这两种情况的分布，都可根据正态分布的概率进行统计推论。以平均数为例，有下述情形。

(一)总体分布为正态，方差(σ²)已知，样本平均数的分布为正态分布。

所谓平均数的分布是指从基本随机变量为正态分布的总体 (又称母总体)中，采用随机抽样的方法，每次从这个总体中抽取大小为n的一个样本，计算出它的平均数 ，然后将这些个体放回总体去，再次取n个个体，又可计算出一个 ，…再将n个个体放回去，再抽取n个个体……这样如此反复，可计算出无限多个 ，这无限多个平均数的分布是属于什么样的分布呢?理论及试验都可证明，这无限多个平均数的分布为正态分布。设母总体的参数为μ(平均数) σ² (方差)，那么，样本平均数分布的平均数与方差(或标准差)与母总体的平均数与方差(或标准差)有如下关系：

                     (5—11a)

                      (5—11b)

为平均数的平均数， 为平均数分布的方差，常称之为变异误。 为平均数分布的标准差，为了与母体的标准差相区别，一般称 为标准误，或平均数的标准误，也有时用SE表示。

由上可知，样本平均数的平均数与母总体的平均数相同，样本平均数的标准误与母总体的标准差成正比，而与样本容量n成反比。样本含量越大，标准误就越小。

如果横坐标都用总体随机变量的测量单位表示，则总体正态分布低阔，而样本平均数的分布高狭，高狭的程度与样本大小有关。如图5—8：

图5-8  母总体与样本平均数分布的比较

但不论母总体的分布还是样本平均数的分布，都可通过求标准分数，将各自的正态分布形式转换成相同的标准正态分布。样本平均数的标准分数，可写作：

                                   (5—12)

(二)总体分布非正态，但σ²已知，这时当样本足够大时(n> 30)，其样本平均数的分布为渐近正态分布，接近正态分布的程度与样本n．及总体偏斜程度有关。样本n越大，接近得就越好，或总体偏态越小，接近的程度越好。当偏斜较大时，n越大，才接近正态分布。这是中心极限定理内容之一，概率论中早已有证明。

其样本分布的平均数与标准差，与总体的μ及σ之间，也有下述关系

(三)方差及标准差的分布

依随机取样的原则，自正态分布的总体中抽取容量为n的样本，当n足够大时(n>30)，样本方差及标准差的分布，渐趋于正态分布，这时，其分布的平均数与标准差与母总体的σ²和σ的关系，可近似地表示如下：

                                        (5—13)

                                     (5—14)

样本的方差及标准差的分布，渐近正态分布，又能近似地求得标准差分布的平均数( )、方差分布的平均数( )及其标准误( )，这样，便可查正态表，确定其分布的概率。因为这个公式要求n非常大，一般难于保证，故标准差及方差的统计推论，陵少用到渐近分布，而用其精确分布(χ²分布)。

除以上所说的几种统计量的分布为正态分布或渐近正态分布外，还有多种统计量的分布也为正态或渐近正态分布，如两样本平均数之差的分布(σ²已知)相关系数的分布，比率的分布等等，具体留待以后诸章介绍。

当知道了某些样本统计量为正态分布或渐近正态分布以后，便可根据正态分布表，求概率。例如，根据正态分布的概率可知，样本平均数中有95％落在μ±1.96 之间，有99％的样本平均落在μ±2.58 王之间。当n满足非常大的条件样本方差与标准差也依同样的规律散布，即有95％的样本标准差落在。σ±1.96σ_s之间……，有95％的样本方差落在σ²±1.96σ_s2²之间等等。