响石潭

t分布是统计分析中应用较多的一种随机变量函数的分布，是统计学者高赛特(Gosset)1908年在以笔名“Student”发表的一篇论文中推导的一种分布。

(一)t分布的意义与特点

前一部分讲到正态分布的总体方差已知情况下，样本平均数的分布为正态分布，其两个参数为μ, 。但当σ²未知时，分布是什么?当总体方差未知时，如果以样本的方差S²作为总体σ²的估计值，这样，每取一个样本，便可计算一个S²，S，当样本容量小于30时，样本方差及标准差的分布不是正态分布，而是偏态分布，而 也是偏态分布，那么每个样本的统计量 分布是怎样的呢，高赛特发现，当样本容量n→∞时，它是正态分布，当n>30以上时接近正态分布，当n<30时，此分布不接近正态分布。而是具有左右对称，高狭峰的分布，且分布形状随样本容量n一1的变化而变化的一族分布。这就是t分布。

上式可见，t分布与σ无关而与n一1(自由度)有关，t分布的自由度(符号v或df表示)一般为n-1，即样本容量减1。自由度是指任何变量中可以自由变化的数目。是t分布的参数v，因为v代表t分布中独立随机变量的数目。故曰自由度。

    t分布的特点可归纳如下：

    ①t分布的平均值为0。

    ②是对于平均值0对称的分布，分布左侧t为负值，分布右侧 t为正值。

    ⑧t变量取值在-∞一+∞之间。

④当样本容量趋于∞时，t分布为正态分布，方差为1，而当n-1大于30以上时，t分布接近正态分布，方差大于1，随n-1之增大而方差渐趋于1，当n-1<30时，t分布与正态分布相差较大，随n-1减少，离散程度(方差)越大，分布中间部分低面分布的尾部较高，(见图5—9)

图5-9  标准正态分布与t分布

(二)t分布表的使用

t分布的形态随自由度而变化，它有一族分布，因而不能像标准正态曲线那样，编制一个详细的表。但为应用方便，一般t分布表只列出不同自由度时某些概率下的t值。该表中所列的值是由‘分布函数计算得到的。附表2是常用的t分布表。该表左列为自由度，最上一行是指不同自由度下t分布两尾部端的概率，分别为 0．5，0．4，0．3，0．2，0．1，0．05，0．01，0．001．．．．等，这些概率是指某一t值时，t分布两尾部端概率的和，而表的最下一行标明的是单侧界限，即从某t值以下t分布尾部一端的概率，因而单侧概率是双侧概率的一半见下图5—10。

图5—10  df=20时t分布的双侧概率

表中所列的值为t值，它随自由度及概率不同而变化。例如df＝20，最大t值的概率为0．05(双侧概率)t值为2．086，意思是在t小于-2．086以下的概率与t大于 2．086以上的概率和为0．05亦即该两部分尾端的面积和与总面积之比率为0．05。双侧概率常写作t_α/2，上例t _.05／2＝2．086。单侧概率则只计算一侧尾部的概率，故单侧概率为双侧概率的一半，常写作t_α，上例则可写作t _.025＝2．086。若概率为．01时t _.01／2＝2．845， t _.01=2．845，若自由度为30时，t _.01/2 ＝2．750它相差很小，但t值是随自由度的变化而变化的。

以上是已知自由度及概率查t值，有时常常要根据已知的自由度与t值，查相应的概率。例如df＝17，t＝2．567，求该t值双侧概率，查表知其双侧概率为0．02，t＝±2．567之间的概率为：1— 0．02＝0．98。有时所查t值，不恰与某概率的t值相等，这时可取近似的概率值。例如df＝17，t＝3．00，而表中没有相应的概率，因 t _．001／2＝3．965，t _．01／2＝2．898可以用近似的．0l作为t＝3．00的概率，常写作p< ．0l，需要精确些计算，可用直线内插法：

设t＝3．00的双侧概率为x，内插计算，可列下式：

解x＝0．00881

即t＝3．00时其双侧概率为0．00881或写作：

t_{0．00881／2}=3．00。

从t值表可查得自由度df=30的情况下，在0．05概率时，t＝ 2．042，而正态表相同概率时Z＝1．96，二者相差甚微，当df→∞时，t值表所列不同概率下的t值与正态表相应概率下的Z值完全相同。故可知当n→∞时，t分布的极限为正态分布。

 (三)方差未知时，样本平均数的分布

1．总体分布为正态，当其方差(σ²)未知时，样本平均数的分布为t分布。

从一个正态分布的总体中，每次抽取容量为n的样本，计算平均值，由于总体方差未知，这时，样本平均数的分布不是正态分布而是t分布，t分布的形式随样本容量n的变化而变化。这无限多个样本平均数的平均数就是总体平均数μ，而平均数分布的标准差(也称标准误)与样本本身的标准差有下述关系：

                 (5—16)

    ， ，因为，每个样本的标准差不同，故样本平均数分布的标准误也不同， 只是 的估计值。亦可写作 。

总体分布为正态而总体方差未知，这种情况，在心理和教育的研究中出现较多，因而t分布的应用比较多。

2．当总体分布为非正态而其方差又未知时，若满足n>30这一条件样本平均数的分布，近似为t分布。据前述，当t分布的自由度为30时，t分布与正态分布十分接近，故此时样本平均数的分布可视为渐近正态分布。这就是说，当n>30时，应用正态表计算概率(近似值)或应用t分布表计算概率(较精确值)都可以。因为总体方差未知，其标准误的计算，可用样本方差作为总体方差的估计值。其式如5—16式。

除样本平均数的分布在一定条件下遵从t分布外，σ²未知时两样本平均数之差的分布、样本相关系数的分布、回归系数的分布在一定条件下也遵从t分布。