响石潭

χ音chi(希腊文)，χ²读作卡方。

χ²分布是统计分析中应用较多的一种抽样分布。

(一) χ²分布的直观意义

从一个服从正态分布的总体中，每次随机抽取随机变量X₁X₂…X_n，分别将其平方，即可得到 ，这样可抽取无限多个数量为n的随机变量X，及X²，可求得无限多个 (n个随机变量的平方和)，也可计算其标准分数Z＝(X-μ)/σ，及其平方 及n个标准分数平方和 ，那么，

这无限多个n个随机变量平方和或标准分数的平方和的分布，即为χ²分布。χ²可写作：

或

这时χ²分布的自由度为n。

如果正态总体的平均数未知，若用样本平均数 作为μ的估计值时：

(5—19)

此时χ²分布的自由度为df＝n-1。

(二) χ²分布的特点

1．χ²分布是一个正偏态分布。随每次所抽取的随机变量X的个数(n的大小)不同，其分布曲线的形状不同，n或n-1越小，分布越偏斜，df很大时，接近正态分布。当df→∞时，χ²分布即为正态分布。可见χ²分布是一族分布，正态分布是其中一特例，如图(5—11)：

图5—11  χ²分布图

2．χ²值都是正值

3．χ²分布的和也是χ²分布

遵从df＝df₁+df₂+…+df_k的χ²分布。即χ²分布具有可加性。

4．χ²分布的平均值与方差

如果df>2，这时χ²分布的

平均数：              (5—20)

                        方差：             (5—21)

5．χ²分布是连续型分布，但有些离散型的分布也近似χ²分布 (见第十章)

(三) χ²分布表的编制与使用

χ²分布表是根据χ²分布函数计算出来的，χ²分布曲线下的面积都是1。但随自由度不同，同一χ²值以下或以上所含面积与总面积之比率不同。故一般χ²表，要列出自由度、及某一χ²值以上χ²分布曲线下的概率。见附表12。

χ²分布在统计分析中应用于计数数据的假设检验(详见第十章)以及样本方差与总体方差差异是否显著的检验。