响石潭

根据χ²分布：

                         (5—19)

自正态分布的总体中，随机抽取容量为n的样本，其样本方差与总体方差比值的分布为χ²分布，这样可直接查χ²表确定其比值的．95与．99置信间距。再进一步用下式确定总体方差的．95与．99置信间距：

                             (6—5)

查df＝n-1的χ²表确定 与

[例2]    已知某测验分数的样本n＝10， ＝0．286，问该测验分数总体方差。σ²的．95和．99置信间距是多少?

解：此题为一次测验的分数，可视其总体分布为正态。查df=10—1  χ²表，确定 与 。

得  即 (因χ²表的概率是从一侧计算的，故应查α／2的概率)

＝19    ＝2．7    代入式6—11

9×0.286/19 < σ²  < 9×0.286/2.7

故总体方差．95的置信间距为0．135—0．95之间，作此推论正确的概率为．95，错误的概率为．05。

．99的置信间距：查 与 的值。

χ_.005 · (9)  =23.6                  = 1.73

得9×0.286/23.6 < σ²  < 9×0.286/1.73

           0.11 < σ²  <1.49

故总体方差的．99置信间距为0．11—0．149之间。

即从一个方差为σ²的正态分布的总体中，随机抽取n＝10的样本无限多个，每个样本所计算的 值中有99％的样本 值在0．11—1．49之间，只有1％样本的S²值比0．11小或比1．49大。当σ²未知，用样本方差估计σ²时，说它在0．11—1．49之间，可能性为99％。不在此区间的可能只有l％。

利用χ²分布，估计σ²的置信区间不受样本容量的限制，而对标准差总体的估计却不这样。因而在对标准差的总体进行估计时，可先对其方差进行估计，求得方差的置信区间之后，再将所得值开平方，其正平方根，便是标准差的相当于方差置信水平的置信区间。

[例3]     用例1的数据，n＝31，S_n-1＝5，问σ的．95置信区间?

解：先求方差的置信区间，当df＝30的χ²表，得：

＝47           ＝16.8

30×5² / 47 < σ² <30×5² / 16.8

不等号两边都开平方，取正平方根

3．99<σ<6．68与例1结果相近。

故其σ的．95的置信间距为3．99—6．68。   

如果样本容量小于30，用方差的置信间距开平方，计算标准差的置信间距更方便、准确。