响石潭

一、总体平均数估计的计算步骤

(一)根据实得样本的数据，计算样本的平均数与标准差。

(二)计算标准误 。有两种情况：

1. 当总体方差σ²已知时， (公式5—11)(n为样本容量。这时样本的方差S²不用)

2. 当总体方差未知时，用样本的不偏估计方差即 计算 ，如果计算的是样本的有偏估计方差S²则  (公式5—18)

(三)确定置信间距或显著性水平。这在对总体平均数μ进行估计之前，根据需要确定。统计学上一般规定显著性水平为．05，即置信水平为0．95或显著性水平为．01，即置信水平为0．99。因为．05或．01的概率事件属于小概率事件。而小概率事件被认为在一次抽样中是不易被抽到的。也就是说，眼前所抽取的这个样本的平均数，不大可能是属于样本分布尾部端的很少可能出现的那个样本。因而据此样本的平均数对总体参数进行估计则犯错误的可能很小(不超过5％或1％的概率)。

(四)根据样本平均数的抽样分布，确定查何种统计表。确定α＝．05或．01的横坐标值。一般当总体方差已知时，查正态表；当饿本方差未知时，查t值表(当n>30时，也可查正态表作近似计算)。确定Z_α／2与t_α／2 (即以分布曲线两尾部端计算的置信度的搬率，因是两尾部端，故写作α／2)

(五)确定并计算置信区间：   

±Z_α／2 ，Z_{（1-α）／2}是查（1-α）/2 概率所得到的Z的分数值。

置信区间可写作：

- Z_{（1-α）／2} <μ< + Z_{（1-α）／2}                     (6-2)

或：

- Z_α／2 <μ< + Z_α／2

如果查t值表，则写作

- t_{（1-α）／2} <μ< + t_{（1-α）／2}   

或：

- t_α／2 <μ< + t_α／2   

(六)解释总体均数的置信区间。估计总体均数落入该区间的正确可能性概率为1-α，犯错误的可能性概率为α。

二、总体方差σ²已知时，对总体均数μ的估计

(一)当总体分布为正态时，不论样本n的大小，其标准误 都是，这时样本的方差S²在计算中没有用处。依据上面所讲的步骤，查正态表，确定Z_α／2，一般情况下显著性水平α确定为．05或．01，因此其Z_α／2为1．96或2．58。这两个数值最好记牢，可以省略查正态表的一步。

(二)当总体为非正态分布时，只有当样本容量n>30以上，才能根据样本分布对总体均数μ进行估计，否则不能进行估计。

[例1]  已知母总体为正态分布，σ=7．07从这个总体中随机抽取n₁＝10和n₂＝36的两个样本，分别计算出 ＝78， ＝79，试问总体参数μ的．95和．99置信区间。

解：此题总体分布为正态，σ²已知，故无须计算样本方差。其标准误为：

用n_l＝10的样本估计总体参数μ：

．95的置信区间：78—1．96×2．24<μ<78+1．96×2．24。

73．6<μ<82．4